Воспитанник усть-каменогорского «Торпедо» (тренер Юрий Тархов, ранее работавший и с Борисом Александровым). Сразу после окончания ДЮСШ получил приглашение в «Енбек». Костяк алма-атинской команды в те годы составили молодые воспитанники «Торпедо», и вскоре «Енбек» под руководством Юрия Баулина вышел из второй союзной лиги в первую. В 1983 году Леонов перешел в московское «Динамо» и уже в декабре 1984 года дебютировал в сборной СССР. Но травма (перелом руки) помешала Юрию выступить на чемпионате мира 1985 года. В 1990 году Леонов все же принял участие в чемпионате мира и завоевал золотые медали. В тот же сезон динамовцам удалось прервать многолетнюю гегемонию ЦСКА и выиграть чемпионат СССР.Всего в составе сборной СССР — 32 матча, 5 заброшенных шайб.Также в 1985—1987 гг. выступал во второй сборной СССР, в её составе дважды становился победителем турнира на призы газеты «Ленинградская правда».В 1991 году уехал в Европу, в швейцарский клуб «Амбри-Пиотта». Через три года вернулся в «Динамо» и начал вызываться в сборную России. В 1994—1997 гг. провел за сборную 10 матчей, забросил одну шайбу.Закончил карьеру только в 2002 году, после чего перешёл на тренерскую работу в ДЮСШ московского «Динамо».С ноября 2006 года и до конца сезона — главный тренер санкт-петербургского СКА, в следующем сезоне переместился на должность ассистента в штабе Барри Смита. С августа 2008 года по июнь 2012 года — главный тренер санкт-петербургского ХК ВМФ, выступающего в ВХЛ. С 16 июня 2012 года по 11 января 2014 года был главным тренером подольского «Витязя», выступающего в КХЛ. С 12 апреля 2014 года по 16 октября 2014 года являлся главным тренером хабаровского «Амура», выступающего в КХЛ.